（应用计数试卷）2 容斥原理-小升初数学模块化思维提升（hz102教师版通用版）2025年春学习资料.docx

专题2 容斥原理 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典 题 精讲+专项训练） 1、 在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题． 一般方法： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考． 容斥原理1：两量重叠问题 A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）． 容斥原理2：三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数． 用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C 【典例一】 47名同学参加了数学和语文考试，两门都没得100分的有26人，数学得满分的有17人，语文得百分的有12人，试问两门都得100分的有几人？ 【分析】两门都没得100分的有26人，那么至少一门得100分的就是 人，由此根据语文、数学得100分的人数画图分析： 由此利用容斥原理即可求出两门都得100分的人数． 【解答】解：至少一门得100分的有： （人 ， 两门都得100分的有： （人 ， 答：两门都得100分的有8人． 【点评】此题考查了利用容斥原理解答问题的灵活应用，这里求出至少一门得100分的人数是解决问题的关键． 【典例二】 六一班的王老师在一次数学测验中共出了三道题，结果做对