绝密★启用前
数学考试
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名
､准考证号填写在试卷
和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷
､草稿纸和答题卡上的非答题区域
均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：高考范围.
一
､选择题
：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知
，若
为纯虚数，则
（ ）
A.
B.2 C.1 D.
3.已知
为奇函数，则
（ ）
A.-2 B.2 C.1 D.-1
4.某饮料厂生产
两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为
，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为
，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（ ）
A.0.12 B.0.20 C.0.44 D.0.32
5.已知数列
为等比数列，
均为正整数，设甲：
；乙：
，则（ ）
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
6.若函数
单调递增，则实数
的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.已知
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
8.已知
为双曲线
的右顶点，
为坐标原点，
为双曲线
上两点，且
，直线
的斜率分别为2和
，则双曲线
的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.2
二
､多选题
：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知圆
，则下列结论正确的有（ ）
A.若圆
和圆
外离，则
B.若圆
和圆
外切，则
C.当
时，圆
和圆
有且仅有一条公切线
D.当
时，圆
和圆
相交
10.已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A.当
时，
的最小正周期为
B.当
时，
的最小值为
C.当
时，
在区间
上有4个零点
D.若
在
上单调递减，则
11.已知四面体
的各个面均为全等的等腰三角形，且
.设
为空间内任一点，且
五点在同一个球面上，则（ ）
A.
B.四面体
的体积为
C.当
时，点
的轨迹长度为
D.当三棱锥
的体积为
时，点
的轨迹长度为
三
､填空题
：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校需要选派4名大学生去当志愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有2名女生的选法有__________种（用数字作答）.
13.已知
为椭圆
上的一个动点，过
作圆
的两条切线，切点分别为
，则
的最小值为__________.
14.若直线
为曲线
的一条切线，则
的最大值为__________.
四
､解答题
：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明
､证明过程及演算步骤
.
15.（本小题满分13分）
睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而许多人被睡眠时长过短
､质量不高等问题所困扰
.2023年3月21日是第23个世界睡眠日，这一天某研究小组随机调查了某高校100名学生在某一天内的睡眠情况，将所得数据按照
分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：
（1）求
的值，并由频率分布直方图估计该校所有学生每一天的平均睡眠时长（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）每一天睡眠时长不低于7.75小时认定为睡眠充足，以频率代替概率，样本估计总体，在该高校学生中随机抽查3人，求至少有两人每一天睡眠时长充足的概率.
16.（本小题满分15分）
记
的内角
的对边分别为
，已知
.
（1）求
；
（2）若
的面积为
，求
边上的中线长.
17.（本小题满分15分）
如图1，在平面四边形
中，
.点
是线段
上靠近
端的三等分点，将
沿
折成四棱锥
，且
，连接
，如图2.
（1）在图2中，证明：
平面
；
（2）求图2中直线
与平面
所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
在平面直角坐标系
中，点
为动点，以
为直径的圆与
轴相切，记
的轨迹为
.
（1）求
的方程；
（2）设
为直线
上的动点，过
的直线与
相切于点
，过
作直线
的垂线交
于点
，求
面积的最小值.
19.（本小题满分17分）
已知函数
.
（1）设函数
，讨论
的单调性；
（2）设
分别为
的极大值点和极小值点，证明：
.
2024届黑龙江省齐齐哈尔市高三下学期2月一模考试 数学.docx
