数学考试
参考答案
､提示及评分细则
1.B
由
，解得
，所以
，所以
，故选B.
2.B
，若
为纯虚数，则
，故选B.
3.A
当
时，
，所以
，所以
，故选A.
4.C
由题意，选到非碳酸饮料的概率为
.44，故选C.
5.B
设数列
的公比为
，首项为
，则
，即
，满足必要性.当
时，对任意正整数
均有
，不满足充分性，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B.
6.D
，即
对任意
恒成立，
即
恒成立，因为
（当且仅当
时取“=”），所以
，故选D.
7.A
设
，则
.故选A.
8.C
，可知
是
中点，
两点关于原点对称，
，设
，则
.故选C.
9.BCD
.
若
和
外离，则
，解得
或
，故
错误；
若
和
外切，
，解得
，故
B
正确；
当
时，
和
内切，故
C
正确；
当
时，
和
相交，故
D
正确，故选BCD.
10.AB
当
时，
，所以
的最小正周期为
选项正确；
当
时，
，所以
的最小值为
选项正确；
当
时，
，令
，解得
或
，此时
或
或
在区间
上有3个零点，
C
选项错误；
，设
，易知
在
上单调递减，且
，根据复合函数的单调性，
在
上单调递增，所以
，解得
选项错误.故选
.
11.AC
依题意，
，将四面体
放入长方体中，设长方体的长，宽，高分别为
，则
，解得
，所以
选项正确；
由于
，即异面直线
和
的距离为
，且
，所以四面体
的体积为
选项错误；
由
可知，四面体
的外接球半径为
，易知点
的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为
，则
，解得
，所以
的轨迹长度为
，
C
选项正确；
易知
的外接圆半径为
，所以球心到
所在平面的距离为
，
三棱锥
的体积为
，又由
，
所以点
的轨迹长度大于
，
D
选项错误，故选
A
C.
12.105
恰有两名女生人选的选法有
种，恰有3名女生人选的选法有
种，恰有4名女生人选的选法有
种，所以至少有两名女生人选的选法有
（种）.
13.
设
，则
，根据三角形相似可得，
，
且
，因为
，
所以
.
14.
设
，则
，设切点为
，
则切线方程为
，整理可得
.
所以
解得
，
所以
，设
，则
，当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，所以当
时，
取得最大值
，所以
的最大值为
.
15.解：（1）
，解得
，
依题意，该校学生每一天的平均睡眠时长为
（小时）；
（2）100名学生的睡眠充足的频率为
，
以频率代替概率，样本估计总体，该校学生睡眠充足的概率为0.2，
所以至少有两人睡眠时长充足的概率为
.
16.解：（1）由正弦定理可得
，所以
，
即
，又
，
所以
，
整理得
，解得
；
（2）依题意，
，解得
，
又
，所以
，
由正弦定理可得
，又
，所以
，
设
的中点为
，则
，
所以
，
所以
边上的中线长为
.
17.（1）连接
交
于点
，连接
，
，
平面
平面
平面
，
（2）解：在图1中，
，在图2
中，
，
平面
，
，故以点
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
设平面
的法向量为
，则
可取
，
又
，
所以
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
18.解：（1）设
，则线段
的中点坐标为
，
因为以
为直径的圆与
轴相切，
所以
，
化简得
，所以
的方程为
；
（2）设
，由
，则点
处的切线斜率为
，
所以直线
方程为
，整理为
，
令
，则
，所以
，
易知直线
斜率为
，所以直线
，整理为
，
与
联立可得
，有
，
解得
，即
的横坐标为
，
所以
，
，
所以
面积为
，
又
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的面积最小值为
.
19.解：（1）
，
，
当
时，
在
上恒成立，则
在
上单调递增，
当
时，
单调递减，
单调递增，
综上，当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）
分别是
的极大值点和极小值点，
.
所以
.，
综上，要证
，
只需证
，
因为
，
即证：
，
设
.
所以
，
所以
在
上单调递增，所以
.
所以
成立.
2024届黑龙江省齐齐哈尔市高三下学期2月一模考试 数学答案.docx
